声明：本文为作者瞎想杜撰出来的，与现实生活毫无联系，貌似文段之间也没什么联系……学术和语言上也欠严谨，不过本文作为一个“个人理解”而言还是差强人意的。
数学是一门“无论从创造日期还是从小孩子刚开始学的时期”来看都很早的学科。从小学上到现在，几何学的各类公式背了不少，记得最深的就是面积体积公式了；高中学了导数和积分，也会了一点点高数的知识，在佩服前人的能力时，同时诅咒着他们——这货害死了多少莘莘学子（画外音：这是病句~）啊！希望没人和我一样悲剧：我刚接触积分的时候，一直没法理解下方的面积是怎么算的，把一块区域分割成无限条线段，每条线段都有长度，加起来岂不是无穷大了……当然，这跟“测度”有关系，简单地说，就是二维测度（即面积）是不能用一维测度（长度）测量的。最显然的解释就是，你TM是忘了乘上一个几乎为0的宽度吧！
导数与积分
不知道大家有没有想过，为什么高中求∫(a,b)_f(x)dx要先求F(x)，然后再求F(x)|(a,b)，一块区域的面积怎么会跟两个数字扯上关系呢？而且F(x)并不唯一，得出的结果为什么是一样的呢？
一个函数的导数的直观理解就是这个函数的变化量，也就是当△x→0时，x增加△x的时候F(x)增加的量。假设有一个函数F(x)，它的导数是f(x)，我们要求f(x)在区间(a,b)上的积分。我们按照最基础的做法，把那段区间分成n个竖着的小列（试想一下n→∞的情形），考虑其中对应着区间(x,x+△x)的一个小列，在x增加△x的时候，原函数F(x)的数值按照本段第一行的定义，应该增加了那个小列的面积的量（如果面积为负则是减少了这么些量）。于是把这n个小列从左往右依次加起来，数值上等于F(x)在这段区间上的变化量（也就是F(x)|(a,b)），同时在几何面积上也等于∫(a,b)_f(x)dx，十分形象。可以想到，如果两个原函数的导数相同，则这两个原函数在同一区间上的变化量是一样的。以上并不算严谨的数学证明，也许真正会的人看了这段会忍俊不禁，不过按照这个思路理解是绝对够了。
还有初中提到的，如果两个物体被任意一个平行于地面的一个平面所截，截得的面积总是相等，则这两个物体体积相等。例如桌子上整齐地摞了一摞纸（每张纸不一定多大），不小心被推歪了，体积还是那些纸，不变。这也可以进似地看成：一共有n张纸，第x张纸的面积为f(x)，你要求∫(1,n)_f(x)dx，这个值并不因为纸被推歪了而改变，从上一段看也是显然的。
这是我佩服前人的理由之一：这么一个定理，理解起来很容易（证明呢？我不会……），但是谁能凭空想出来呢？
周长、面积与体积
观察下面两组早已烂熟于心的式子：
- 圆的周长C=2πR，面积S=πR^2
- 球的表面积S=4πR^2，体积V=(4/3)πR^3
容易发现（么？）前一个式子是后一个式子的导数，这仅仅是巧合？貌似不是。对于①中两式，我们假设一开始有一个“圆”，圆心确定，半径为0，然后我们一点点改变半径的值，会发现半径每增加△x，面积就会多出一个在当前半径下周长的量，看起来好像是一个个逐渐变大的圆依次紧密地套在了那个“圆”的外面。于是无限个周长组成了这个圆的面积，周长理所应当是面积的导数了！至于②中两式，就像无限个球面包住了一开始那个半径为0的球，于是面积即为体积的导数了。
于是我在想，四维球的四维测度公式岂不是(1/3)πR^4了？
维度、空间与递归
“三维空间”这个词应该是家喻户晓了吧，在数学方面（物理我不懂），零维是点，一维是线，二维是面，三维是体，四维也许有人知道是四维体，更高维呢？至少目前我是想不到五维及以上的超体。那有没有不是整数的维度呢？答案是有的，例如“科赫雪花”就是个典型的log(3,4)≈1.26维图形，“谢尔宾斯基地毯”的维度则是log(3,8)≈1.89维。
这些维度是怎么得出来的呢？如果一个图形按照某个一维测度（例如棱长或直径）相似地扩大a倍之后，该图形的测度扩大了b倍，则该图形是log(a,b)维的。上一段中的两个图形为什么是这么个维度，相信大家看了图片之后会发现，这确实是显然的——雪花的一个单位（其中一小段）扩大三倍则总长扩大为四倍，地毯边长扩大三倍则面积扩大为八倍。这个维度计算的方法也同样适用于常见的图形，例如长方形的一条棱扩大两倍，面积即扩大四倍，则长方形是log(2,4)=2维图形，同理正方体是log(2,8)=3维图形，至于线段则是log(2,2)=1维图形。什么？对于点的log(2,0)无意义？别想这么多了，这是定义出来的……想了解更多可以自行百度“豪斯多夫维度”。
学OI时我们讲了归并排序，分析时间复杂度的时候，我们用递归式T(n)=2T(n/2)+O(n)来表示，当时老师只说了T(n)=O(nlogn)，我们也是直接背过的。后来知道有种方法叫主方法，英文名字很霸气，叫Master_Method，它可以解形如T(n)=bT(n/a)+f(n)的递归式。忽略掉f(n)（也就是让f(n)=O(1)。为什么不是O(0)？你硬要这么办我也不拦着你……）后我想到的是，将一个图形的一维测度扩大a倍，该图形测度扩大了b倍。于是我貌似发现了一个很神奇的问题：对于目前见过的所有图形的(a,b)，用主方法解出来的T(n)都是n^log(a,b)这样的，如果令n为图形的一维测度的话（有点类似书立方那个标志的“Book^3”）……我们利用主方法变相“证明”了豪斯多夫维度的定义？这个又是什么巧合么？
仔细想想其实也不是什么巧合。任何一个图形都是可以递归生成的，如果它有合适的生成规则的话。所谓的“生成规则”大体可以看成：把这个图形的某一小块复制到指定的位置上，例如上文的地毯即将这个图形复制到附近的八个地方。我们可以模仿上帝写一个程序：
Procedure 生成(x:图形,pos:位置,rule:规则,a:数字) //a和下文的b的定义见上文
If 递归到了边界（即x是一个点。这貌似是一个无限递归，因为点是无限小的，不过鉴于我们是上帝，就不用想这么多了） Then
在位置pos上摆放一个点并返回
End If
For i in rule中的每一个地方（一共b个） Do
生成(x缩小a倍的图形,i,rule,a) //这里用到了递归操作！
End For
End Procedure
等这个程序运行完之后，我们便得到了一个生成的图像。很显然，这个图像的测度由点的个数决定，那么到底有多少个点呢？估计大家已经猜到了，答案是n^log(a,b)个，也就是说这个图形是一个log(a,b)维图形。——空间、维度和看似与之不相关的递归式，在这里紧密结合在了一起。